楕円曲線論入門1.18(a) - 手塚兎月の備忘録

解答

$P_2=-2P_1+P_3$

$P_4=P_1-P_3$

$P_5=-2P_1$

解説

$P_5,P_4,P_2$ の順で解説する。

$P_1$ から接線を引くと下記の図になる。 www.desmos.com $P_1*P_1=P_5$ から
$P_5=-2P_1$ が得られる。

$P_4+P_3=P_1$ から
$P_4=P_1-P_3$ が得られる。
実際に下の2つの図から確かめられる。 www.desmos.com
www.desmos.com
$P_1+P_2+P_4=O$ から $P_2=-(P_1+P_4)$
$P_2=-P_1-(P_1-P_3)$
$P_2=-2P_1+P_3$ が得られる。

実際に確かめてみる。 www.desmos.com

www.desmos.com

以上より
$P_2,P_4,P_5$ をある整数 $n,m$ を用いて
$nP_1+mP_2$ で表した。