手塚兎月の備忘録

チェス、ポケモン、数学、その他

2の対数乗は何か？

数学

$2^{\log_2 3}$ は何か？

発端はtwitterでこの問題の解答を見て思うところがあったので

自分なりに解説しようと記事を書きました。

$2^{\log_2 3}$ について簡単な説明をしたいと思う。

そもそも $\log_2 3$ が何かという話ですが、

「2に2をどれだけかければ3になるか」という問いに対しての

答えが $\log_2 3$ です。

数式で順を追って説明します。

$2^x=3$

が「2に2をどれだけかければ3になるか」を表しています。

2を2回かけると

$2\times 2=2^2$

こうかけることは高校数学を学んでいれば分かると思います。

話を戻して

$2^x=3$ を解きましょう。

底を2として対数を取ると

$\log_2 2^x=\log_2 3$

説明は省略しますが上の式は次のように書けます。

$x\log_2 2=\log_2 3$

$\log_2 2$ は1ですから

$x=\log_2 3$

なので $2^x=3$ に $x=\log_2 3$ を代入して

$2^{\log_2 3}=3$

が分かるわけです。

twitterで見かけたサイトはこちらからどうぞ

指数が対数（log乗）であるものの値の求め方|わかるようになる高校数学 (kokosugaku.blogspot.com)

この解き方を否定はしませんが、

いちいち対数をとるのは面倒でしょう。

$9^{\log_3 7}$ は

$(3^2)^{\log_3 7}$ と書けて更に

$(3^{\log_3 7})^2$ と書けます。

なので

$7^2=49$ となるわけです。