楕円曲線論入門演習問題1.6(b) - 手塚兎月の備忘録

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解答

$2(a-c)\log\lvert1+t\rvert-\frac{1}{2}(a-b)(t-3)(t+1)+2c\cdot t$

解説

$\textbf {(b)}計算をする前に2つの公式の紹介と導出をする。\\ (x,tのどちらか一方で表そうとしたが疲れた。)$

$\begin{eqnarray} \int x\log xdx &=&\frac{1}{2}x^2\log x-\frac{1}{4}x^2 \tag{1} \\ \int\frac{t^2}{1+t}dt &=&\log\lvert1+t\rvert-\frac{1}{2}(t-3)(t+1) \tag{2} \\ \end{eqnarray}$

(1)の式を求める。
$\begin{align*} \int x\log xdx &=x(x\log x-x)-\int (x\log x-x)dx \\ 2\int x\log xdx &=x(x\log x-x)+\frac{1}{2}x^2 \\ \int x\log xdx &=\frac{1}{2}x^2\log x-\frac{1}{4}x^2 \\ \end{align*}$

(2)の式を求める。
$\small \begin{align*} \int\frac{t^2}{1+t}dt &= \int t^2\left(\log\lvert1+t\rvert\right)^\prime dt \\ &= t^2\log\lvert1+t\rvert-\int 2t\log\lvert1+t\rvert dt\\ &= t^2\log\lvert1+t\rvert-2\int \left\{(1+t)\log\lvert1+t\rvert-\log\lvert1+t\rvert\right\}dt\\ &=t^2\log\lvert1+t\rvert -\left\{(1+t)^2\log \lvert 1+t\rvert-\frac{1}{2}(1+t)^2\right\}\\ &　　+2\left\{(1+t)\log\lvert1+t\rvert-(1+t)\right\}\\ &=\log\lvert1+t\rvert-\frac{1}{2}(t-3)(t+1) \end{align*}$

$\begin{align*} \int \left\{ (t-1)+\frac{1}{1+t} \right\}dt \end{align*}$
で計算すれば楽になると後から気づいた。定数項は各々が好きにするといい。

最初に分母を $t$ で表す。
((a)で求めた分子の式に $a=1,b=1,c=1$ を
代入すればいい事に見直し気づいたが、せっかくなので残した。)

$\begin{align*} 1+\cos x+\sin x &=1+(2\cos^2\frac{x}{2}-1)+2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}\\ &=\frac{(1+t^2)+(1-t^2)+2t}{1+t^2}\\ &=2\cdot\frac{1+t}{1+t^2} \end{align*}$
(a)で求めた分子の式と先ほどの公式(2)を用いる。

$\ \begin{eqnarray*} \int\frac{a+b\cos\theta+c\sin\theta} {1+\cos\theta+\sin\theta}d\theta &=& \int\{(a-b)t^2+2c\cdot t+(a+b)\}\cdot\frac{1+t^2}{2(1+t)}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt\\ &=& \int \left\{(a-b)\cdot\frac{t^2}{(1+t)}+2c\cdot\frac{t}{(1+t)}+(a+b)\cdot\frac{1}{(1+t)}\right\}dt\\ &=& (a-b)\left\{\log\lvert1+t\rvert-\frac{1}{2}(t-3)(t+1)\right\}\\ &　&+2c\left(t-\log\lvert1+t\rvert\right)+(a+b)\log\lvert1+t\rvert\\ &=& 2(a-c)\log\lvert1+t\rvert-\frac{1}{2}(a-b)(t-3)(t+1)+2c\cdot t \end{eqnarray*}$