手塚兎月の備忘録

チェス、ポケモン、数学、その他

楕円曲線論入門1.8

数学楕円曲線論入門

$x^2+1\equiv 0 \pmod {5^e}$

$x^2\equiv -1 \pmod {5^e}$

なのでルジャンドル記号を用いて

$\left(\frac{-1}{5^e}\right)$

= $\left(\frac{-1}{5}\right)^e$

= $\left((-1)^\frac{5^2-1}{2}\right)^e$

=+1

$x_1=2$ のとき

$7^2+1\equiv 0 \pmod {5^2}$ で

$x_2\equiv x_1 \pmod{5^1}$ が成り立つ。

$x_e\equiv x_{e-1} \pmod{5^{e-1}}$ が成り立つと仮定する。

$a_i (i=0,1,2,\cdots,n,\cdots,m)$ を

5より小さい正の整数とする。

$x_{e}=a_0\cdot 5^0+a_1\cdot 5^1+a_2\cdot 5^2+\ldots+a_{e-2}\cdot 5^{e-2}\ldots+a_{n-1}\cdot 5^{n-1}$

$x_{e}\equiv a_0\cdot 5^0+a_1\cdot 5^1+a_2\cdot 5^2+\ldots+a_{e-2}\cdot 5^{e-2}\pmod{5^{e-1}}$

$x_{e}\equiv x_{e-1}\pmod{5^{e-1}}$

$e=e+1のとき$

$x_{e+1}=a_0\cdot 5^0+a_1\cdot 5^1+a_2\cdot 5^2+\ldots+a_{e-1}\cdot 5^{e-1}\ldots+a_{m}\cdot 5^{m}$

$x_{e+1}\equiv a_0\cdot 5^0+a_1\cdot 5^1+a_2\cdot 5^2+\ldots+a_{e-2}\cdot 5^{e-2}+a_{e-1}\cdot 5^{e-1}\ldots+a_{m}\cdot 5^{m}$

仮定より

$x_{e+1}\equiv x_{e-1}+a_{e-1}\cdot 5^{e-1} \pmod {5^{e}}$

なので

$x_{e+1}\equiv x_{e} \pmod {5^e}$

が成り立つ。

解のメモと参考にしたブログ

$x_1=2(000002_{(5)})$

$x_2=7(000012_{(5)})$

$x_3=57(000212_{(5)})$

$x_4=182(001212_{(5)})$

$x_5=2057(031212_{(5)})$

$x_6=14557(431212_{(5)})$

ヘンゼルの補題と7進法人間 - tsujimotterのノートブック (hatenablog.com)